q=1附近的朗伯级数与q函数

我们研究朗伯级数 $\mathscr{L}_q(s,x) = \sum_{k=1}^\infty k^s q^{k x}/(1-q^k)$, 对所有 $s \in \mathbb{C}$。我们得到了 $\mathscr{L}_q(s,x)$ 在 $q=1$ 附近的完整渐近展开。我们对朗伯级数的分析给出了几个相关q函数的渐近形式：q-gamma和q-polygamma函数、q-Pochhammer符号，以及以封闭形式给出的雅可比 theta 函数。一些典型结果包括 $\Gamma_2(\frac{1}{4}) \Gamma_2(\frac{3}{4}) \simeq \frac{2^{13/32} \pi}{\log 2}$ 和 $\vartheta_4 (0,e^{-1/\pi}) \simeq 2 \pi e^{-\pi^3\!/4}$, 相对误差分别为 $10^{-25}$ 和 $10^{-27}$ 量级。