关于 $\zeta(4k\pm 1)$ 的快速收敛公式

我们利用 Lambert 级数 $\mathscr{L}_q(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{s} q^{n}/(1-q^n)$、$s=-(4k\pm 1)$ 给出黎曼 zeta 函数在奇整数处的快速收敛公式。我们关于 $\zeta(4k-1)$ 的主公式每项以约 $e^{-\sqrt{15}\pi}$ 的速率收敛,而关于 $\zeta(4k+1)$ 的公式每项以 $e^{-4\pi}$ 的速率收敛。例如,一阶近似给出 $\zeta(3)\approx\frac{\pi ^3 \sqrt{15}}{100} +e^{-\sqrt{15} \pi }\left[\frac{9}{4}+\frac{4}{\sqrt{15}}\sinh (\frac{\sqrt{15} \pi }{2})\right]$,其误差仅约为 $10^{-10}$。