偏 theta 函数零点-free 的一个区域

我们证明对于 $q\in (0,1)$，偏 theta 函数 $\theta (q,x):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}x^j$ 在闭区域 $\{ \{ |x|\leq 3\} \cap \{${\rm Re}$x\leq 0\} \cap \{ |${\rm Im}$x|\leq 3/\sqrt{2}\} \} \subset \mathbb{C}$ 中无零点，且无非实零点 $\geq -5$。