部分theta函数谱的寻找位置

Ramanujan的部分theta函数 $\theta (q,x):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}x^j$，其中 $q\in \mathbb{D}_1$ (以原点为中心的单位圆盘)，$x\in \mathbb{C}$，的谱是参数 $q$ 的集合，即$\theta (q,.)$具有重根的点。我们证明，在集合 $\mathbb{S}\cup \mathbb{D}_{c_0}$ 中不存在谱值，其中 $\mathbb{S} = \{ 0<|z|<0.6,{\rm arg}(z)\in [\pi /4 ,7\pi /4 ] \}$，且 $c_0=0.2078750206\ldots$。在集合 $\mathbb{S}\cup \mathbb{D}_{0.31}$ 中仅存在一个谱值，等于 $0.309249\ldots$。对于 $q\in \mathbb{S}\cup \mathbb{D}_{c_0}$，$\theta$ 的零点的模由 $|q|$ 的负半整数次方分隔。