Barnes 双 zeta 函数的近似函数方程与上界

作为 zeta 函数的渐近公式之一，Hardy 和 Littlewood 给出了称为近似函数方程的渐近公式。在本文中，我们证明 Barnes 双 zeta 函数 $\zeta_2 (s, \alpha ; v, w ) = \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty (\alpha+vm+wn)^{-s}$ 的近似函数方程。此外，应用该近似函数方程与 van der Corput 方法，我们得到当 $t \rightarrow \infty$ 时关于 $t$ 的 $\zeta_2(1/2 + it, \alpha ; v, w)$ 与 $\zeta_2(3/2 + it, \alpha ; v, w)$ 的上界。