Bernoulli 多项式的一致收敛性态

Bernoulli 多项式 $B_n(z)$ 的根若绘于复平面上，会聚集于一条奇特的 H 形曲线周围。Karl Dilcher 于 1987 年证明，在 $\mathbb{C}$ 的紧子集上，Bernoulli 多项式渐近地表现得像正弦或余弦。在此我们建立了 $B_n(nz)$ 的渐近性态，计算了 Bernoulli 多项式的实根分布，并表明在适当重标度下，复根位于曲线 $e^{- 2\pi \text{Im}(z)} = 2\pi e |z|$ 或 $e^{2\pi \text{Im}(z)}= 2\pi e |z|$ 上。