$\sigma>1$ 时欧拉乘积组合的零点

在本文中，我们考虑在 $\sigma>1$ 时绝对收敛且具有欧拉乘积、系数满足自然边界并满足 Selberg 型正交关系的狄利克雷级数。设 $N\geq 1$，$F_1(s),...,F_N(s)$ 如上所述，$P(X_1,...,X_N)$ 为系数属于在 $\sigma\geq 1$ 时绝对收敛的 $p$-有限狄利克雷级数环的非单项式多项式；则 $P(F_1(s),\ldots,F_N(s))$ 在 $\sigma>1$ 时有无穷多个零点。我们的结果特别适用于 Artin $L$-函数、拉马努金猜想下的自守 $L$-函数，以及 Selberg 正交猜想下具有多项式欧拉乘积的 Selberg 类元素。这推广了 Booker 和 Thorne 的工作，他们在拉马努金猜想下对自守 $L$-函数证明了相同的结果。我们的证明避免了使用狄利克雷特征扭曲的性质（这是 Booker 和 Thorne 证明中的一个关键点），而是用上述类型 $L$-函数非零系数的狄利克雷密度的结果来替代它们。