论欧拉乘积在临界带内的有效性

欧拉乘积公式将 Dirichlet $L(s,\chi)$ 函数与素数上的无穷乘积联系起来，已知其在 $\Re (s) >1$ 时有效且绝对收敛。我们提供论证表明，该公式在特定意义上实际上对 $\Re (s) > 1/2$ 也有效。即，欧拉乘积的对数虽然在形式上发散，但具有意义，因为它是 Ces\`aro 可求和的，且其 Ces\`aro 平均值收敛于 $\log L (s,\chi)$。我们的论证依赖于素数定理、Abel 变换以及针对素数随机游走（即级数 $\sum_{n=1}^N \cos\left(t\log p_n\right)$）的中心极限定理，并将其推广至其他 Dirichlet $L$-函数。$\Re(s) > 1/2$ 的重要性源于该级数的 $\sqrt{N}$ 增长，因为它满足中心极限定理。基于主 Dirichlet 特征的 $L$-函数（如 Riemann $\zeta$-函数）由于在 $s=1$ 处存在极点而属于例外情况，需要 $\Im (s) \neq 0$ 并对欧拉乘积进行截断。本文展示了这一惊人结果的有力数值证据，并讨论了其部分推论。