拉马努金展开的有限与无限欧拉乘积

所有满足 $F:$N$\rightarrow$C 且具有拉马努金展开 $F(a)=\sum_{q=1}^{\infty}G(q)c_q(a)$（此处 $c_q(a)$ 为拉马努金和）、对 $a\in$N 逐点收敛、且 $G:$N$\rightarrow$C 为积性函数的映射，均可分解为两个拉马努金展开，其中之一为有限欧拉乘积：详见我们的主定理。这是一个一般性结果，具有出乎意料且有用的推论，特别是对于零函数（即 0）的拉马努金展开。主定理不需要其他解析假设，逐点收敛已足够；这依赖于一般项 $G(q)c_q(a)$ 的欧拉 $p-$因子（欧拉乘积中的因子）的一般性质；即一旦固定 $a\in$N（及素数 $p$），$G(q)c_q(a)$ 的 $p-$欧拉因子（涉及所有 $p-$幂）具有有限个非零项（依赖于 $a$）：见我们的主引理。若我们再添加一些其他假设，如绝对收敛，则得到更经典的欧拉乘积：无限者。对于 0 的拉马努金展开，这一强假设使 0 的拉马努金系数类大幅缩小；也排除了拉马努金的 $G(q)=1/q$ 与哈代的 $G(q)=1/\varphi(q)$（$\varphi$ 为欧拉 totient 函数）。相反，我们的主定理足以分类 0 的所有积性拉马努金系数，因此我们亦宣告并（部分）证明此分类。