拉马努金展开式的光滑求和

我们研究了拉马努金级数∑_{q=1}^{∞}G(q)c_q(a)，其中c_q(a)为著名的拉马努金和，复数G(q)（q∈N）为拉马努金系数；当然，我们隐式意指该级数逐点收敛于所有自然数a，即其部分和∑_{q≤Q}G(q)c_q(a)在Q→∞时于C中收敛。受我们近期对拉马努金级数的无穷与有限欧拉乘积研究（其中假设G为积性）的启发，我们考察一种（部分）光滑求和。即∑_{q∈(P)}G(q)c_q(a)，其中指标q∈(P)意指q的所有素因子p均不超过P（固定）；然后令P→∞取极限。注意此类在P-光滑数（即属于(P)，见上）上的部分和一般本身构成无穷和，∀固定P∈P；然而，我们的被加项含c_q(a)，其具有垂直极限，即其支撑在满足q和a的p进赋值分别记为v_p(q)和v_p(a)且v_p(q)≤v_p(a)+1的索引q∈N上，且这对∀p≤P（P固定）成立。换言之，∀G:N→C，此处∑_{q∈(P)}G(q)c_q(a)为有限和，∀a∈N，∀固定P∈P：我们称∑_{q=1}^{∞}G(q)c_q(a)为“光滑拉马努金级数”当且仅当∃lim_P ∑_{q∈(P)}G(q)c_q(a)∈C，∀a∈N。注意一极重要性质：光滑拉马努金级数与拉马努金级数不必相同。我们证明：光滑拉马努金级数在Wintner假设下收敛。（对拉马努金级数未必成立。）我们将其应用于相关函数及Hardy–Littlewood“2k-孪生素数”猜想。