Ramanujan求和与指数生成函数 $ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}\zeta ^{\'}(-k)$

在其笔记的第六章中，Ramanujan引入了一种对发散级数求和的方法，该方法将级数的值赋为相关的Euler-MacLaurin常数，该常数通过将Euler-MacLaurin求和公式应用于级数的部分和而得到。这种方法现在被称为Ramanujan求和过程。在本文中，我们计算了指数生成函数 $\sum_{n\geq 1}\log n e^{nz}$ 和 $\sum_{n\geq 1}H_n^{(j)} e^{-nz}$ 的Ramanujan和，其中 $H_n^{(j)}=\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^j}$。我们发现当 $j=1$ 时，这两个和之间存在一个令人惊讶的关系，由此得出一个公式，该公式将Riemann zeta函数在负整数处的导数与发散Euler和 $\sum_{n\ge 1} n^kH_n, k \ge 0$ 的Ramanujan求和联系起来，其中 $H_n= H_n^{(1)}$。此外，我们将关于Ramanujan求和的结果用经典的求和过程——Borel和——来表示。