涉及四个连续调和数乘积的级数

在与 Goldbach 的通信中，Euler 开始研究形如 $\sum_{k \geq 1} k^{-m}\left(1 + 2^{-n} + \cdots + k^{-n}\right)$ 的级数，即今天所知的 Euler 和。对于 $n=1$ 且 $m \geq 2$ 的情形，Euler 成功得到了用 zeta 值表示的闭式。我们采用 Euler 风格的初等技巧来求值级数 $\sum_{k \geq 1} \frac{H_k H_{k+1} H_{k+2} H_{k+3}}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$，其中 $H_k := 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{k}$ 为第 $k$ 个调和数，并将其表示为 zeta 值的形式。该闭式是 Furdui 和 S\^int\u{a}m\u{a}rian 一个猜想的潜在反例。我们将此问题与关于 zeta 值的无理性及 $\mathbb{Q}$-线性无关性的猜想联系起来。