关于无数个非线性欧拉级数

线性调和数级数在过去几个世纪中已被众多作者研究，但关于二次或更高次数的非线性欧拉级数仅已知有限结果。1997 年，Flajolet 和 Salvy 发表了首个系统性研究，非线性欧拉级数由超调和级数的乘积构成，此后不同作者在过去几年中进行了类似研究。虽然这些研究局限于分子为偶数或奇数超调和级数的乘积、分母形式为 $1/k^n$ 的级数，但我们将这些结果推广到分母形式更为多样、分子包含奇偶超调和数混合乘积的非线性欧拉级数。具体而言，我们提出了八类可由zeta值和特殊类型的线性欧拉级数表示的二次欧拉级数的八大族，其中非线性欧拉级数的阶数始终为奇数。我们发现的八类不同族的非线性欧拉级数包含各种奇偶超调和数之间的乘积，除以三种不同类型的分母 $1/k^n$、$1/((2k-1)^n)$ 和 $1/(k(2k-1))$。其计算方案基于适当的二值整数函数，使我们能够以zeta值和奇类型线性调和数、偶数二阶超调和数的配对形式明确计算这些序列。