权 $\leq$ 5 的欧拉型求和的计算

设 $p,p_1,\ldots,p_m$ 为正整数且满足 $p_1\leq p_2\leq\cdots\leq p_m$，$x\in [-1,1)$，定义所谓的欧拉型求和 ${S_{{p_1}{p_2} \cdots {p_m},p}}\left( x \right)$，其为一般项由指标 $n$ 的调和数、${n^{-1}}$ 的幂以及变量 $x^n$ 的乘积构成的无穷级数，即 $$S_{p_1 p_2 \cdots p_m, p}(x) := \sum_{n = 1}^\infty \frac{H_n^{(p_1)} H_n^{(p_2)} \cdots H_n^{(p_m)}} {n^p} x^n \quad (m\in \mathbb{N} := \{1,2,3,\ldots\}),$$ 其中 $H_n^{(p)}$ 由广义调和数定义。推广关于经典欧拉求和的早前工作，我们证明了每当 $p+p_1+\cdots+p_m \leq 5$ 时，所有求和 ${S_{{p_1}{p_2} \cdots {p_m},p}}\left( 1/2\right)$ 均可表示为 zeta 值、多对数函数与 $\log(2)$ 的乘积的有理线性组合。证明涉及寻找并求解将不同类型求和相互关联的线性方程组。