关于算术函数的拉马努金型展开

斯里尼瓦萨·拉马努金在[Trans. Cambridge Phillos. Soc, 22(13):259-276,1918]中给出了某些算术函数用指数和 $c_r(n) = \sum\limits_{\substack{{m=1}\\ (m,r)=1}}^{r} e^{\frac{2 \pi imn}{r}}$ 表示的级数展开。在此，我们给出用E. Cohen在[Duke Mathematical Journal, 16(85-90):2, 1949]中定义的Cohen-拉马努金和 $c_r^s(n)=\sum\limits_{\substack{h=1\\ (h,r^s)_s=1}}^{r^s}e^{\frac{2\pi i n h}{r^s}}$ 表示的类似类型展开。我们还提供了此类展开存在的一些必要和充分条件。