Cohen-Ramanujan 和的互反定理及其在第二变量 Cohen-Ramanujan 展开中的应用

对于一个算术函数 $f$，其 Ramanujan 展开是一个形如 $f(n)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a(k) c_k(n)$ 的级数展开，其中 $a(k)$ 是复数，$c_k(n):= \sum\limits_{\substack{m=1\\(m, k)=1}}^{k}e^{\frac{2\pi imn}{k}}$ 是 Ramanujan 和。本文我们证明了关于 Cohen-Ramanujan 和 $c_k^s(n) :=\sum\limits_{\substack{{h=1}\\(h,k^s)_s=1}}^{k^s}e^{\frac{2\pi i n h}{k^s}}$ 的一个互易结果，以改变一个扭曲函数中 $k$ 和 $n$ 的位置，并利用它证明对于某些算术函数 $f$，形如 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a(k) c_k^{(s)}(n)$ 的 Cohen-Ramanujan 级数展开存在，当且仅当形如 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b(k/n) c_n^{(s)}(k)$ 的展开存在。