涉及 Cohen-Ramanujan 展开的一些渐近公式

Cohen-Ramanujan 和记为 $c_r^s(n)$，是一个类似于 Ramanujan 和 $c_r(n):=\sum\limits_{\substack{h=1\\{(h,r)=1}}}^{r}e^{\frac{2\pi i n h}{r}}$ 的指数和。若右侧级数对于合适的复数 $\widehat{f}(r)$ 收敛，则称算术函数 $f$ 允许一个 Cohen-Ramanujan 展开 $f(n):=\sum\limits_{r}\widehat{f}(r)c_r^s(n)$。给定两个具有绝对收敛 Cohen-Ramanujan 展开的算术函数 $f$ 和 $g$，我们推导出了求和 $\sum\limits_{\substack{n\leq N}}f(n)g(n+h)$ 的渐近公式，其中 $h$ 为固定的非负整数。我们还提供了某些特定函数的 Cohen-Ramanujan 展开，以说明我们随后证明的一些结果。