Ramanujan 与实数的正则连分数展开

在近期的一些论文中,作者考虑了形如 $$[a_{0};;\underbrace{a,...,a}_{m}, \underbrace{a^{2},...,a^{2}}_{m}, \underbrace{a^{3},...,a^{3}}_{m}, ... ],$$ 的正则连分数,其中 $a_{0} \geq 0$、$a \geq 2$ 与 $m \geq 1$ 为整数。此类连分数在一般 $a$ 下以及在 $m=1$ 与 $m=2$ 情形时的极限,已作为某些无穷级数的比值给出。然而,这些公式可由 Ramanujan 的两个连分数的已知事实导出。受这些观察的启发,我们对先前作者关于 $m=1$ 与 $m=2$ 情形的结果给出另证,并利用 Ramanujan 所研究的其他 $q$-连分数的已知结果来导出其他无穷族正则连分数的极限。