广义连分式收敛性与拉马努金猜想

我们考虑系数为实数 $a_i$ 且收敛于极限 $a$ 的连分式 \frac{-a_1}{1-\frac{a_2}{1-\frac{a_3}{1-...}}} \label{fr}。S.Ramanujan 曾陈述了一个定理（见 [ABJL], p.38），称若 $a\neq\frac14$，则该分式收敛当且仅当 $a<\frac14$。收敛性陈述在 [V] 中针对收敛于 $a\in\mathbb C\setminus[\frac14,+\infty)$ 的复 $a_i$ 得到了证明（亦见 [P]）。J.Gill [G] 在假设 $a_i\to a>\frac14$ 足够快，更精确地，只要 \sum_i|a_i-a|<\infty.\label{gill} 时，证明了 (\ref{fr}) 的发散性。拉马努金猜想称只要 $a_i\to a>\frac14$，(\ref{fr}) 总发散，这迄今仍是一个开放问题。在本文中我们否定了该猜想。我们证明（定理 \ref{th1}）对于任意 $a>\frac14$，存在实序列 $a_i\to a$ 使得 (\ref{fr}) 收敛。此外，我们证明（定理 \ref{go}）Gill 的充分发散条件 (\ref{gill}) 是关于 $a_i$ 收敛速度的最优条件。