关于Runckel点处连分数的收敛性与Ramanujan猜想

我们考虑 Stieltjes 极限周期连分数 $$\frac{1}{1-} \frac{g_1 z}{1-} \frac{g_2(1-g_1) z}{1-} \frac{g_3(1-g_2)z}{1-...,}, z\in \mathbb C, g_i\in(0,1), \lim\limits_{i\to \infty} g_i=1/2, \quad (1)$$ 它作为单位圆盘 $|w|< 1$, $w \in \mathbb C$ 上某些解析自映射的 Shur--Wall $g$-分数表示出现。我们明确了其收敛行为，并证明了 (1) 在奇异直线 $(1,+\infty)$ 的 Runckel 点处的普遍收敛性[2, p. 564]。我们表明在某些情况下收敛在经典意义下成立。作为一个结果，我们构造了 Ramanujan 猜想[1, p. 38-39]（该猜想断言某类极限周期连分数发散）的反例。