Ramanujan 与连分数的扩展和收缩

若一个连分数 $K_{n=1}^{\infty} a_{n}/b_{n}$ 已知收敛但其极限不易确定,则或许更易用 $K_{n=1}^{\infty}a_{n}/b_{n}$ 的一个扩展来求极限。所谓 $K_{n=1}^{\infty} a_{n}/b_{n}$ 的扩展,我们是指一个连分数 $K_{n=1}^{\infty} c_{n}/d_{n}$,其奇部分或偶部分为 $K_{n=1}^{\infty} a_{n}/b_{n}$。于是可能以三种方式之一求极限:(i) 证明该扩展收敛并求其极限;(ii) 证明该扩展收敛并求另一收缩(例如,若 $K_{n=1}^{\infty}a_{n}/b_{n}$ 为偶部分,则求奇部分)的极限;(iii) 求另一收缩的极限并证明该扩展的奇部分与偶部分趋于同一极限。我们应用这些思想来导出 Ramanujan 某些连分数恒等式的新证明,并证明一个涉及 Rogers-Ramanujan 连分数的恒等式的推广,该恒等式由 Blecksmith 与 Brillhart 猜想。