组合三角形数组的Stieltjes矩性质与连分数

许多组合数可置于如下满足递推关系的广义三角数组$[T_{n,k}]_{n,k\ge 0}$中：\begin{equation*} T_{n,k}=\lambda(a_0n+a_1k+a_2)T_{n-1,k}+(b_0n+b_1k+b_2)T_{n-1,k-1}+\frac{d(da_1-b_1)}{\lambda}(n-k+1)T_{n-1,k-2} \end{equation*} 其中$T_{0,0}=1$，且除非$0\le k\le n$否则$T_{n,k}=0$，对应合适的$a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2,d$与$\lambda$。对$n\geq0$，记$T_n(q)$为第$n$行的生成函数。本文基于$\sum_{n\geq0}T_n(q)t^n$的Jacobi连分数表达式，发展了关于$T_n(q)$的$\textbf{x}$-Stieltjes矩性质与$3$-$\textbf{x}$-对数凸性的若干判据，其中$\textbf{x}$是由$q$及递推关系中出现的那些参数组成的一组未定元。借助Wang与Zhu [Adv. in Appl. Math. (2016)]的一个判据，我们证明$T_{n,k}$的相应线性变换保持序列的Stieltjes矩性质。最后，我们给出若干相关例子，包括阶乘数、Whitney数、Stirling排列、极小极大树与峰统计。