Graham--Knuth--Patashnik 递推:对称性与连分数

我们研究由 Graham--Knuth--Patashnik 递推 $T(n,k) = (\alpha n + \beta k + \gamma)\, T(n-1,k)+(\alpha' n + \beta' k + \gamma') \, T(n-1,k-1)$ 定义的三角阵列,其初始条件为 $T(0,k) = \delta_{k0}$,参数为 $\mathbf{\mu} = (\alpha,\beta,\gamma, \alpha',\beta',\gamma')$。我们证明阵列族 $T(\mathbf{\mu})$ 在一个同构于 $S_3 \times D_4$ 的 48 元离散群下不变。我们的主要结果是确定所有参数集 $\mathbf{\mu} \in \mathbb{C}^6$,使得普通生成函数 $f(x,t) = \sum_{n,k=0}^\infty T(n,k) \, x^k t^n$ 由 $t$ 的 Stieltjes 型连分数给出,其系数为 $x$ 的多项式。我们还展示了一些特例,其中 $f(x,t)$ 由 $t$ 的 Thron 型或 Jacobi 型连分数给出,其系数为 $x$ 的多项式。