论 Graham, Knuth, Patashnik 递归式的极限分布

Graham、Knuth 和 Patashnik 在其著作《Concrete Mathematics》中呼吁发展由 $$\left|{ n\atop k}\right|=(\alpha n+\beta k+\gamma)\left|{n-1\atop k}\right|+(\alpha' n+\beta' k+\gamma')\left|{n-1\atop k-1}\right|+I_{n=k=0}$$ 对 $0\le k\le n$ 及六个参数 $\alpha,\beta,\gamma,\alpha'\beta',\gamma'$ 定义的递归式解的一般理论。此后，许多作者研究了此类递归式解的各项性质。在本文中，我们考虑一个概率方面的视角，即研究与此类递归式的解自然关联的整值随机变量序列的极限分布。我们将对 $\alpha'=0$ 且其余五个参数非负的情况给出极限行为的完整刻画。