概率意义下 $\alpha\beta$-统计收敛的 $\gamma$ 阶概念

实数序列 $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ 被称为 $\alpha \beta$-统计收敛于实数 $x$ 的 $\gamma$ 阶（其中 $0<\gamma\leq 1$）\cite{a}，如果对任意 $\delta>0,$ $$\underset{n\rightarrow \infty} {\lim} \frac{1}{(\beta_{n} - \alpha_{n} + 1)^\gamma}~ |\{k \in [\alpha_n,\beta_n] : |x_{k}-x|\geq \delta \}|=0.$$ 其中 $\{\alpha_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ 和 $\{\beta_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ 是两个正实数的序列，满足两者均非减，$\beta_{n}\geq \alpha_{n}$ 对所有 $n\in \mathbb{N}$ 成立，且 $(\beta_{n}-\alpha_{n})\rightarrow \infty$ 当 $n\rightarrow \infty$。本文研究相关的收敛概念，其中将 $|x_{k}-x|$ 分别替换为 $P(|X_{k}-X|\geq \varepsilon)$ 和 $E(|X_{k}-X|^{r})$（其中 $X, X_k$ 是对每个 $k\in \mathbb{N}$ 的随机变量，$\varepsilon>0$，$P$ 表示概率，$E$ 表示期望），我们称它们分别为概率意义下的 $\alpha \beta$-统计 $\gamma$ 阶收敛和 $r^{\mbox{th}}$ 期望意义下的 $\alpha\beta$-统计 $\gamma$ 阶收敛。结果被应用于构建概率意义下 $\alpha\beta$-强 $p$-Ces$\grave{\mbox{a}}$ro 求和的 $\gamma$ 阶以及分布意义下 $\alpha\beta$-统计 $\gamma$ 阶收敛的概率分布。我们的主要目标是解释上述四种收敛的关系行为。