某种 $\beta$ 进制展开中余项的渐近分布

设 $X=\sum_{k=1}^\infty X_k \beta^{-k}$ 为单位区间上连续随机变量 $X$ 的 $\beta$ 进制展开，其中 $\beta$ 为黄金比例。我们研究当 $n$ 趋于无穷大时，缩放余项 $\sum_{k=n+1}^\infty X_k \beta^{n-k}$ 的渐近分布和收敛速度。