自然数的有限 beta 展开

设 $\beta>1$。对 $x \in [0,\infty)$，我们有所谓的 $x$ 在基 $\beta$ 下的 $\beta$-展开如下：$$x= \sum_{j \leq k} x_{j}\beta^{j} = x_{k}\beta^{k}+ \cdots + x_{1}\beta+x_{0}+x_{-1}\beta^{-1} + x_{-2}\beta^{-2} + \cdots$$ 其中 $k \in \mathbb{Z}$，$\beta^{k} \leq x < \beta^{k+1}$，对所有 $j \leq k$ 有 $x_{j} \in \mathbb{Z} \cap [0,\beta)$，且对所有 $n \leq k$ 有 $\sum_{j \leq n}x_{j}\beta^{j}<\beta^{n+1}$。本文给出 $\beta$ 的一个充分条件，使得 $\mathbb{N}$ 中每个元素在基 $\beta$ 下都有有限 beta-展开。此外，我们还找到了一个具有此有限性性质但不具有正有限性性质的 $\beta$。