与 Pisot 单位相关的 β-展开、自然延拓和多重铺砌
动力系统
2012-02-21 v3 数论
摘要
根据 Rauzy 和 Thurston 的工作，我们知道如何利用 Pisot 单位 β 的共轭和贪婪 β-变换来构造某个欧几里得空间的（多重）铺砌。在本文中，我们考虑了生成 β 进制展开的不同变换，包括相关子移位不是 sofic 的情形。在一定的温和条件下，我们证明它们能产生多重铺砌。我们还给出了铺砌性质的充要条件，推广了贪婪 β-展开的弱有限性性质 (W)。值得注意的是，当 β 是最小的 Pisot 数或 Tribonacci 数时，对称 β-变换不满足该条件。这意味着关于铺砌的 Pisot 猜想不能推广到对称 β-变换。与这些（多重）铺砌密切相关的是变换的自然延拓，它们具有许多优良性质：它们在勒贝格测度下不变；在一定条件下，它们提供环面的马尔可夫分割；它们刻画了具有纯周期展开的数，并且允许在不了解其他数字的情况下确定展开中的任意一个数字。
引用
@article{arxiv.0907.2676,
title = {Beta-expansions, natural extensions and multiple tilings associated with Pisot units},
author = {Charlene Kalle and Wolfgang Steiner},
journal= {arXiv preprint arXiv:0907.2676},
year = {2012}
}