Picard-Fuchs 方程与完整递推关系的算术性质

与椭圆曲线周期相关的全纯 Picard-Fuchs 微分方程的系数级数通常具有出人意料的数论性质。这些性质在指数为 6 和 12 的无挠、 genus 零同余子群（例如 Beauville 族）的情形下已被广泛研究。在此，我们考虑与一般椭圆族相关的 Picard-Fuchs 解的算术性质，特别关注指数为 24 的同余子群。我们证明了具有有理参数的椭圆族允许线性重参数化，使其相关的 Picard-Fuchs 解属于 $\mathbb{Z}[[t]]$。给出了一个充分条件，使得无穷远处的全纯解也满足同样的性质。我们证明了附属于 $\Gamma_1(7)$ 的系数级数满足 Atkin-Swinnerton-Dyer 同余。最后讨论了渐近行为，证明了许多系数级数满足形式为 $u_n \sim \ell \lambda^n/n$ 的渐近表达式。某些算术结果可推广至对一般完整递推关系的研究。