关于分数阶泊松过程的积分

在本文中，我们考虑 Riemann-Liouville 分数阶积分 $\mathcal{N}^{\alpha,\nu}(t)= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^t (t-s)^{\alpha-1}N^\nu(s) \, \mathrm ds$，其中 $N^\nu(t)$，$t \ge 0$，是阶数为 $\nu \in (0,1]$ 的分数阶泊松过程，且 $\alpha > 0$。我们给出了显式的双变量分布 $\Pr \{N^\nu(s)=k, N^\nu(t)=r \}$（对于 $t \ge s$，$r \ge k$），均值 $\mathbb{E}\, \mathcal{N}^{\alpha,\nu}(t)$ 和方差 $\mathbb{V}\text{ar}\, \mathcal{N}^{\alpha,\nu}(t)$。我们研究了过程 $\mathcal{N}^{\alpha,1}(t)$，对于该过程我们能够得出条件方差和绝对方差以及均值的显式结果。最后一节介绍了关于 $\mathcal{N}^{1,1}(t)$ 更为复杂的结果，其中还推导了积分泊松过程的分布性质（包括作为随机和的表示）。考察了泊松过程幂次的积分，并讨论了其与广义调和数的联系。