泊松过程与分数泊松过程的复合、随机和与连分式

本文考虑不同过程的随机和与复合之间的关系。特别地，对于独立的泊松过程 $N_\alpha(t)$、$N_\beta(t)$（$t>0$），我们证明了 $N_\alpha(N_\beta(t)) \overset{\text{d}}{=} \sum_{j=1}^{N_\beta(t)} X_j$，其中 $X_j$ 为泊松随机变量。我们给出了一系列类似的情况，其中最一般的情况是外部过程为泊松过程而内部过程为非线性分数生过程。我们强调了这些结果在外部过程为无穷可分时的推广。本文有一节讨论形如 $N_\alpha(\tau_k^\nu)$（$\nu \in (0,1]$）的复合，其中 $\tau_k^\nu$ 是分数泊松过程的逆过程，我们展示了这些复合如何表示为随机和。此外，我们研究了形如 $\Theta(N(t))$（$t>0$）的复合，它可以表示为随机乘积。最后一节致力于研究具有泊松层数的 Cauchy 随机变量的连分式。我们计算了其精确分布，并导出了以 Fibonacci 数列之比表示的尺度参数。