给定分量数随机组合结构的 Poisson 过程与独立过程逼近，以及低秩装配的近普适行为

我们给出了一个用于逼近组合装配的通用框架，特别适用于除了总大小 $n$ 之外还指定了分量数 $k$ 的情况。这涉及一个 Poisson 过程，通过适当选择参数，它可以被视为鞍点逼近的推广。我们通过分析指定秩与大小，且秩 $r := n-k$ 相对于 $n$ 较小时的分量结构来说明其应用。存在近普适行为，即除了指数生成函数收敛半径为零的情况外，对于 $\ell=1,2,\dots$，当 $r \asymp n^\alpha$ 且固定 $\alpha \in (\frac{\ell}{\ell+1}, \frac{\ell+1}{\ell+2})$ 时，最大分量的尺寸 $L_1$ 依概率收敛于 $\ell+2$。进一步地，当 $r \sim t\, n^{\ell/(\ell+1)}$ 且 $\ell$ 为正整数，$t \in (0,\infty)$ 时，$\mathbb{P}\,(L_1 \in \{\ell+1,\ell+2\}) \to 1$，其选择由尺寸为 $\ell+2$ 的分量数的 Poisson 极限分布决定。此前在 $\ell=1$ 以及排列和集合划分的特殊情况下，当车被随机放置在三角棋盘上时，利用对攻击和对齐指示符的 Chen-Stein 逼近已观察到了这一现象。$\ell=1$ 的情况尤为微妙，此前的鞍点逼近未能处理。