泊松驱动顺序统计量的缩放极限及其在几何概率中的应用

设 $\eta_t$ 为某状态空间 $\Y$ 上强度 $t\geq 1$ 的泊松点过程，$f$ 为 $\Y^k$ 上的非负对称函数（$k\geq 1$）。将 $f$ 应用于 $\eta_t$ 的所有不同点的 $k$-元组，会在正实半轴上生成一个点过程 $\xi_t$。研究表明，当 $t$ 趋于无穷大时，$\xi_t$ 的缩放极限是一个具有显式已知强度测度的泊松点过程。由此可得出关于 $\xi_t$ 第 $m$ 小点的极限定理，并通过提供收敛速率加强了该结论。技术背景包括 Wiener-It\^o 混沌分解、泊松空间上的 Malliavin 变分法以及用于泊松逼近的 Chen-Stein 方法。这一一般结果辅以若干来自几何概率和随机几何的示例，如泊松 $k$-平面、泊松随机多胞形、随机几何图和随机单纯形。这些结果是通过将一般极限定理与凸几何和积分几何工具相结合而获得的。