$K$-对称排斥过程中极值的点过程收敛

我们研究了当过程从某些无限粒子阶梯构型出发时——即最大粒子的右侧没有粒子——$K$-对称排斥过程在 $\mathbb{Z}$ 上极值粒子的行为。在此系统中，一个格点的占据数最多为 $K \geq 1$。令 $X^{(0)}_t \geq X^{(1)}_t \geq \cdots$ 表示系统中粒子的顺序统计量。我们证明点过程 $\sum_{m=0}^\infty \delta_{v_t(X_{t/K}^{(m)})}$ 在分布意义下当 $t \to \infty$ 时收敛到 $\mathbb{R}$ 上的泊松随机测度，其强度与 $e^{-x}\,dx$ 成正比，其中 $v_t(x) = (\sigma b_t)^{-1}x - a_t$，$a_t = \log(t/ (\sqrt{2\pi} \log t))$，$b_t = (t/\log t)^{1/2}$，$\sigma$ 为随机游走跳跃概率的标准差。由此极限，我们进一步推导了极值统计量及其间距的渐近联合分布。此外，为了探测粒子数量对极值行为的影响，我们考虑了一个由 $L(t)$ 个格点上的截断阶梯构型组成的阵列，时间 $t\geq 0$。令 $L(t) \to \infty$ 且 $t \to \infty$，我们在由 $L(t)$ 确定的不同标度区域中获得了泊松随机测度极限。这些结果通过将极值超扩散标度极限从对称排斥过程（$K=1$）扩展到更大的 $K\geq 2$ 排斥过程类，展示了此前已知和新引入的超扩散标度极限的鲁棒性。此外，证明比此前已知技术更为通用，依赖于矩估计和半群单调性估计来控制粒子关联。