$\mathbb{R}^d$ 中分支布朗运动的极值_point过程

我们考虑 $d \geq 1$ 时 $\mathbb{R}^d$ 中的分支布朗运动，其中粒子 $u$ 在时刻 $t$ 的位置 $X_t^{(u)}\in \mathbb{R}^d$ 可由其方向 $\theta^{(u)}_t \in \mathbb{S}^{d-1}$ 及其到原点的距离 $R^{(u)}_t$ 编码。我们证明{\it 极值 point 过程} $\sum \delta_{\theta^{(u)}_t, R^{(u)}_t - m_t^{(d)}}$（其中求和遍及时刻 $t$ 所有存活的粒子，且 $m^{(d)}_t$ 是显式的中心化项）依分布收敛到 $\mathbb{S}^{d-1} \times \mathbb{R}$ 上一个随机平移的装饰泊松点过程。更精确地，所谓的{\it 宗族领袖}构成一个 Cox 过程，其强度正比于 $D_\infty(\theta) e^{-\sqrt{2}r} ~\mathrm{d} r ~\mathrm{d} \theta$，其中 $D_\infty(\theta)$ 是方向 $\theta$ 上导数鞅的极限，而装饰是标准一维分支布朗运动的装饰过程的独立同分布副本。这证明了 Stasi\'nski、Berestycki 与 Mallein（Ann. Inst. H. Poincar\'{e} 57:1786--1810, 2021）的一个猜想，并建立在该论文以及 Kim、Lubetzky 与 Zeitouni（arXiv:2104.07698）的基础之上。