从非线性演化方程的高斯估计到分支过程的长时间行为

我们研究演化方程 $u_t=\Delta u-u +\sum_{k\geqslant 1}q_ku^k$, $t>0$, 在 $\mathbf{R}^d$ 中的解。此处系数 $q_k\geqslant 0$ 满足 $\sum_{k\geqslant 1}q_k=1< \sum_{k\geqslant 1}kq_k<\infty$。首先，我们处理解的存在性、唯一性以及当 $t\to +\infty$ 时的渐近行为。然后，在假设 $\sum_{k\geq 1} k^2q_k<\infty$ 下，我们推导出关联分支过程（其状态空间为 $\mathbf{R}^d$ 所有有限配置的集合）的长时间行为结果。结果表明，当时间趋于无穷时，该分支过程的分布表现得如同 $\mathbf{R}^d$ 所有有限配置集合上的布朗运动分布一样。然而，由于初始非线性方程总质量不守恒，出现了带有乘性系数的变形。最后，我们建立了该分支过程占据时间的渐近性质。