R^+ × C^d 中的非线性演化偏微分方程：解的存在唯一性、渐近性与 Borel 可和性

我们考虑如下形式的 n 阶非线性拟线性偏微分方程组 {\bf u}_t + \mathcal{P}(\partial_{\bf x}^{\bf j}){\bf u}+{\bf g} \left( {\bf x}, t, \{\partial_{\bf x}^{{\bf j}} {\bf u}\}) =0; {\bf {u}}({\bf x}, 0) = {\bf {u}}_I({\bf x}) 其中 $\mathbf{u}\in\CC^{r}$，对 $t\in (0,T)$ 且 $|{\bf x}|$ 在 $\mathbb{C}^d$ 中多扇形 $S$ 内充分大（$\partial_{\bf x}^{\bf j} \equiv \partial_{x_1}^{j_1} \partial_{x_2}^{j_2} ...\partial_{x_d}^{j_d}$ 且 $j_1+...+j_d\le n$）。常系数 n 阶微分算子 $\mathcal{P}$ 的主部满足一个锥条件。非线性项 ${\bf g}$ 以及函数 $\mb u_I$ 和 $\mb u$ 在 $S$ 中满足解析性与衰减假设。本文证明了该问题解的存在唯一性，并给出其对大 $|\bf x|$ 的渐近行为。在 $\mb g$ 与 $\mb u_I$ 的进一步正则性条件下（保证问题对大 $|\mb x|$ 存在形式渐近级数解），我们证明其 Borel 可和性（并自动地其渐近性）到一个实际解 $\mb u$。在由应用驱动的特例中，我们展示了该方法如何调整以得到对小 $t$ 的短时存在性、唯一性与渐近行为，且对空间变量无大小限制。