关于某些高阶线性常微分方程形式解的 Borel 可和性

我们考虑一类带有大参数 $u$ 的 $n^{\text{th}}$ 阶线性常微分方程。这些方程的解析解可以用关于 $u$ 的降幂（发散）形式级数来描述。我们证明，在对方程势函数施加温和条件的情况下，形式解在自变量的大型无界域内关于参数 $u$ 是 Borel 可和的。我们确立了形式级数展开作为 Borel 重求和精确解的渐近展开，且该展开关于自变量是一致的。此外，我们表明精确解可以用关于参数的阶乘级数表示，并且这些展开在半平面内收敛，且关于自变量是一致的。为了说明我们的理论，将其应用于一个 $n^{\text{th}}$ 阶 Airy 型方程。