小数据下的 Fisher-KPP 方程与分支布朗运动的极值过程

我们考虑二元分支布朗运动粒子在极限下的极值过程 ${\mathcal X}$。我们证明，在由导数鞅 $Z$ 的对数作平移后，位于距 ${\mathcal X}$ 尖端附近位置距离为 $n+x$ 处的粒子的重标度“密度”，当 $n\to+\infty$ 时依概率收敛到指数 $e^x$ 的倍数。我们还证明，该密度在另一重标度与一附加随机但显式的平移后，其涨落收敛到一个 $1$-稳定随机变量。我们的方法使用解析技巧，其动机源于分支布朗运动的性质与具特定初值的 Fisher-KPP 方程之 Bramson 平移之间的关联，该关联始于 \cite{BD1,BD2} 并在本文中进一步发展。关于 ${\mathcal X}$ 的极限定理之证明关键依赖于：对初值“尺度”为 $0<\varepsilon\ll 1$ 的 Fisher-KPP 方程，其 Bramson 平移行为的精细渐近展开，直至 $[{(\log \varepsilon^{-1})]^{-1-\gamma}}$ 阶项，其中某 $\gamma>0$。