三种方法探讨弱绑定布朗粒子的动力学相变

我们研究了由弱绑定的布朗粒子组成的系统，这些粒子通过呈偶极性的势能进行绑定，势能在大距离处表现为 $V(x) \sim |x|^\alpha$，其中 $0 < \alpha < 1$。在长时间尺度上，概率密度函数 $P(x,t)$ 达到布朗-Gibbs平衡态，所有矩都有限。然而，系统的松弛并非遵循通常具有明确平衡状态的常规指数衰减，而是遵循拉伸指数 $e^{- \mathrm{const} \, t^\nu}$，其中指数 $\nu=\alpha/(2+\alpha)$。我们从三个视角来研究此问题。首先，我们提出了一个简洁且普遍的 $P(x,t)$ 的比例率函数解。该率函数——来自大偏差理论的重要工具——也显示出异常的时间尺度和动力学相变。其次，通过 Fokker-Planck 算子的特征函数，我们使用 WKB 方法获得更为完整的解，这些解再现了率函数方法。最后，我们表明替代的路径积分形式方法允许我们恢复相同的结果，上述率函数是描述最可能路径的经典 Hamilton-Jacobi 方程的解。诸如奇偶性、初始条件的作用以及动力学相变等性质，在所有三个方法中都得到了彻底的研究。