对称排斥过程中的 Gumbel 律

我们考虑 $\mathbb{Z}$ 上的对称排斥粒子系统，其初始构型为无穷粒子阶跃构型，其中在最大粒子右侧没有任何粒子。我们证明，在时刻 $t$ 最右粒子的缩放位置 $X_t/(\sigma b_t) - a_t$ 收敛到 Gumbel 极限律，其中 $b_t = \sqrt{t/\log t}$，$a_t = \log(t/(\sqrt{2\pi}\log t))$，且 $\sigma$ 为随机游走跳跃概率的标准差。本工作解决了 Arratia (1983) 中遗留的一个问题。此外，为考察领先粒子后方粒子质量的影响，我们考虑由 $L$ 个粒子组成的块作为初始轮廓，其中 $L \to \infty$ 当 $t \to \infty$。在适当缩放下，当 $L$ 随 $t$ 发散时，获得了 $X_t$ 的 Gumbel 极限律。特别地，当 $L$ 为 $b_t$ 量级时存在一个相变：在此之上 $X_t$ 的位移类似于无穷粒子阶跃轮廓下的情形，在此之下则为 $\sqrt{t\log L}$ 量级。证明基于最近发展的对称排斥系统的负相关性。我们还对从阶跃轮廓出发的非对称最近邻排斥中最右粒子的行为作了评注，补充了已知结果。