由分数分布阶微分方程支配的随机时间过程

在假设其分数阶 $\nu \in (0,1]$ 以概率密度 $n(\nu)$ 随机分布的前提下，我们分析了不同类型的分数阶微分方程。我们首先考虑了支配齐次泊松过程 $N(t),t>0$ 的递归方程的分数推广。我们证明，对于特定的（离散）选择 $n(\nu)$，它导出了一个具有随机时间的过程，定义为 $N(\widetilde{\mathcal{T}}_{\nu_{1,}\nu_{2}}(t)),t>0$。对于任意固定的 $t$，随机时间宗量 $\widetilde{\mathcal{T}}_{\nu_{1,}\nu_{2}}(t)$ 的分布可以用稳定律的卷积表示。新过程 $N(\widetilde{\mathcal{T}}_{\nu_{1,}\nu_{2}})$ 本身是一个更新过程，并且可以被证明是一个Cox过程。此外，我们证明了 $N(\widetilde{\mathcal{T}}_{\nu_{1,}\nu_{2}})$ 的存活概率及其概率母函数是所谓的分布阶分数弛豫方程的解（见 \cite{Vib}）。鉴于上述结果，考虑分布阶的扩散型分数方程是很自然的。我们在此提出了一种通过布朗运动 $B(t),t>0$ 与随机时间 $\widetilde{\mathcal{T}}_{\nu_{1,}\nu_{2}}$ 的复合来求解它们的方法。因此，至少在双阶情况下，我们提供了一种替代Mainardi和Pagnini \cite{mapagn} 以及Chechkin等人 \cite{che1} 提出的构造方法。