关于群 $G_{n}^{k}$ 与 $\Gamma_{n}^{k}$:流形、动力学与不变量研究

近来,第一作者定义了一族双参数群 $G_n^k$。这些群可视为辫群的类似物。对 $G_n^k$ 群与动力系统之间联系的研究引出了如下基本原理的发现:若描述 $n$ 个粒子运动的动力系统具有恰由 $k$ 个粒子控制的良好余维 1 性质,则这些动力系统容许取值于 $G_{n}^{k}$ 的拓扑不变量。$G_n^k$ 群与不同的代数结构有联系。对 $G_n^k$ 群的研究尤其导致了取值于循环群的自由积的不变量的构造。$G_{n}^{k}$ 群的所有生成元都是反射,但有许多方法可对其增强以消去 $2$-挠率。后来第一和第四作者引入并研究了第二族群,记为 $\Gamma_n^k$,其与流形的三角剖分密切相关。给定流形的三角剖分空间已被广泛研究。Pachner 定理指出,给定流形的任意两个三角剖分可由一串双星形变换(bistellar moves)或 Pachner 变换连接。当考虑具有固定点数的三角剖分集合时,$\Gamma_n^k$ 自然出现。引入 $\Gamma_n^k$ 有两种方式:依赖于度量的几何方式,以及拓扑方式。后者可被视为流形的「辫群」,并且是流形拓扑类型的不变元;类似地,可构造其光滑版本。本文中,我们综述了奠定 $G_n^k$ 与 $\Gamma_n^k$ 理论基础的想法,并概述了这些群、流形、动力系统、纽结与辫群理论近期的研究结果。