带有奇偶性和点的群 $G_{n}^{2}$

在文献~\cite{Ma} 中，Manturov 研究了固定整数 $n$ 和 $k$（满足 $k<n$）的群 $G_{n}^{k}$。特别地，$G_{n}^{2}$ 同构于 $n$ 股自由辫子群。在文献~\cite{KiMa} 中，Manturov 和作者研究了一个取值于自由群的不变量，不仅用于自由辫子，还用于自由缠结，该不变量源自群 $G_{n}^{2}$。另一方面，在文献~\cite{FeMa} 中，Manturov 和 Fedoseev 研究了带有奇偶性的虚拟辫子群 $Br_{2}^{n}$ 和带有点的虚拟辫子群 $Br_{d}^{n}$。他们证明了从 $Br_{2}^{n}$ 到 $Br_{d}^{n}$ 存在一个单同态，并由此推断辫子的奇偶性可以用几何对象（即辫子上的点）来表示。本文研究了带有结构的 $G_{n}^{2}$，这些结构对应于辫子上的奇偶性和点，分别记为 $G_{n,p}^{2}$ 和 $G_{n,d}^{2}$。在第 3 节中，证明了从 $G_{n}^{2}$ 到 $G_{n,p}^{2}$ 存在一个单同态，并且从 $G_{n,p}^{2}$ 到 $G_{n,d}^{2}$ 存在一个单同态。通过从 $G_{n}^{2}$ 到 $G_{n,p}^{2}$ 的同态，可以推断给定的辫子奇偶性具有几何表示，即辫子上的点数。在第 4 节中，可以证明对于 $G_{n,d}^{2}$ 中的每个元素 $\beta$，通过追踪 $\beta$ 上的点添加另一股，可以得到 $G_{n+1}^{2}$ 中的一个元素。也就是说，$n$ 股自由辫子的奇偶性不仅可以用辫子上的点表示，还可以用第 $n+1$ 股表示。反之，对于 $n+1$ 股辫子，通过删除 $n+1$ 股辫子中的一股，可以得到 $n$ 股辫子。最后，我们将简要讨论如何调整上述观察结果来判断给定辫子是否为 Brunnian 辫子。