关于群 $G_{n}^{k}$、辫与 Brunnian 辫

在 \cite{Manturov} 中，第二作者定义了具有 $n$ 条线的 $k$-自由辫群 $G_{n}^{k}$。这些群作为描述处于某种“一般位置”的 $n$ 个粒子动力系统的群自然出现。此外，在 \cite{ManturovNikonov} 中，第二作者与 I.M.Nikonov 证明了 $G_{n}^{k}$ 与经典辫密切相关。作者们证明了从 $n$ 条线的纯辫群到 $G_{n}^{3}$ 和 $G_{n}^{4}$ 存在同态，并定义了从 $G_{n}^{k}$ 到 $\mathbb{Z}_{2}$ 的自由积的同态。也就是说，存在通过 $G_{n}^{3}$ 和 $G_{n}^{4}$ 得到的纯自由辫的不变量。另一方面，在 \cite{FedoseevManturov} 中，D.A.Fedoseev 与第二作者研究了带有附加结构的经典辫：奇偶性与每条线上的点。作者们证明了作为抽象结构的奇偶性具有几何意义——即线上的点。在 \cite{Kim} 中，第一作者研究了带奇偶性与点的 $G_{n}^{2}$。作者构造了一个从 $G_{n+1}^{2}$ 到带奇偶性的群 $G_{n}^{2}$ 的同态。在本文中，我们研究了群 $G_{n}^{3}$，并从 $G_{n}^{3}$ 中提取了经典辫的新的强有力不变量。特别地，这些不变量使人们能够区分 Brunnian 辫的非平凡性。