非 Reidemeister 纽结理论及其在动力系统、几何与拓扑中的应用

经典纽结理论研究的是{\em 图}和{\em 不变量}。通过水平{\em 三割线}，我们构建了一种新的经典辫子理论，其不变量取值于{\em 图像}。这些图像与初始对象的图密切相关。主要工具是{\em 自由 $k$-辫子群}的概念。在最简单的情形下，对于自由 $2$-辫子，字问题和共轭问题可通过寻找最小代表元来解决，该代表元可视为一种图，且作为此类对象是唯一的。我们证明了一个关于取值于此类群（因而取值于图像）的动力系统不变量的一般定理。我们描述了上述理论的各种应用：编织物（$\R^{3}$ 中斜线集合）的不变量，以及几何和拓扑中的许多其他对象。一般而言，只要对于某些拓扑对象（在同痕、同伦等意义下考虑），某些源自维度约束的简单公理成立，就可以构造类似的动力系统和取值于图像的不变量。