与折纸序列和 Rudin-Shapiro 序列相关的 Stieltjes 连分数

我们研究由折纸序列和 Rudin-Shapiro 序列给出的两个 Stieltjes 连分数。通过显式描述收敛子 $P_n(x)/Q_n(x)$ 模 $4$ 的某些子序列,我们给出这两个连分数的形式幂级数展开(模 $4$),并证明它们模 $4$ 同余于 $\mathbb{Z}[[x]]$ 中的代数级数。因此,形式幂级数展开的系数序列是 $2$-自动的。记 $Q_{n}(x)=\sum_{i\ge 0}a_{n,i}x^{i}$。则 $(Q_{n}(x))_{n\ge 0}$ 定义了一个二维系数序列 $(a_{n,i})_{n,i\ge 0}$。我们证明由 $(Q_{n}(x))_{n\ge 0}$ 和 $(P_{n}(x))_{n\ge 0}$ 引入的系数序列 $(a_{n,i}\mod 4)_{n\ge 0}$ 对所有 $i\ge 0$ 均为 $2$-自动的。此外,这些二维系数序列模 $4$ 的图像呈现出一种自相似现象。