关于Stieltjes矩序列的图论注记

对任意整数$k\geq 1$，定义$L_k: \mathbb{R}^\mathbb{N}\to \mathbb{R}^\mathbb{N}$为$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\mapsto (a'_n)_{n\in\mathbb{N}}$，其中$a'_n=\det(a_{n+i+j})_{i,j=0}^{k-1}$。此前，Zhu证明了$L_k$保持序列的Stieltjes矩(SM)性质(Proc. Am. Math. Soc., 2019)。该证明使用了通过半正定Hankel矩阵刻画SM序列的方法。在本注记中，我们给出另一种证明，将SM序列视为$\mathbb{N}$上闭游走的加权计数。我们的证明本质上是一个双重计数论证，将一组非交叉Dyck路径视为某$\mathbb{N}^k$二分子图上的单条闭游走。