多项式的 Stieltjes 矩序列

若序列 $(a_n)_{n \geq 0}$ 可表示为 $a_n = \int_0^\infty x^n d\mu(x)$，其中 $\mu$ 是 $[0,\infty)$ 上的非负测度，则称其为 Stieltjes 矩序列。已知 $(a_n)_{n \geq 0}$ 是 Stieltjes 矩序列当且仅当矩阵 $H =[a_{i+j}]_{i,j \geq 0}$ 是全正矩阵，即其所有子式均非负。我们定义关于 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 的多项式序列 $(a_n(x_1,x_2,\ldots,x_n))_{n \geq 0}$ 为多项式 Stieltjes 矩序列，若矩阵 $H =[a_{i+j} (x_1,x_2,\ldots,x_n)]_{i,j \geq 0}$ 是 $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$-全正的，即其所有子式均为系数非负的 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 的多项式。本文的主要目标是通过寻找 Aigner 所定义的类 Catalan 数的多变量类似物，构造一大类多项式的 Stieltjes 矩序列。