Rogers-Ramanujan 连分数与对 $\mathbf{2\pi}$ 的逼近

我们观察到 Rogers-Ramanujan 连分数 $R(q)$ 的某些著名求值接近于 $2\pi-6$ 和 $(2\pi-6)/2\pi$，并且 $2\pi-6$ 可以用一个 Rogers-Ramanujan 连分数表示，其中 $q$ 非常接近于 $R^5(e^{-2\pi})$。随着 $\alpha$ 增大，值 $-{5\over \alpha}\ln R(e^{-2\alpha \pi})$ 收敛于 $2\pi$。对于 $\alpha=5^n$，Ramanujan 的一个模方程提供了递归的闭式表达式来逼近 $2\pi$ 的值，每当 $n$ 增加 1，正确数字位数增加五倍。如果我们放弃闭式表达式，Rogers 的一个模方程允许数值迭代以更快的速度收敛到 $2\pi$，每次迭代使正确数字位数增加十一的倍数。